或 1/8 1/4 1/2 1 还可以用谱线状图形表示离散时间信号。 … 0 1 2 3 例4-2的 波形如图4-8所示。 1 0 1 2 3 ┅ 单位脉冲序列也称单位样值序列，用 表示，定义为 单位脉冲序列 如图4-9所示。 离散序列与系统分析中，通常用 而不是 表示 输入，所以从这往后，将更多的使用 。 2 、常见典型序列 （1）、单位取样序列 1 （2）、单位阶跃序列 定义 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 1 单位矩形序列用 表示，定义为 （3）、单位矩形序列 0 1 2 3 4 3 2 1 （4）、斜变序列 斜变序列是包络为线性变化的序列，表示式为 如图4.-12所示。 （5）、实指数序列 序列发散 序列收敛 序列正、负摆动 1 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 1 0 -1 1 3 2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正弦型序列是包络为正、余弦变化的序列，如 （6）、余弦序列（包络为正、余弦） 例： 则每10点重复一次正、余弦变化 3 4 5 6 7 0 1 2 8 9 10 11 12 正、余弦序列的一般表示为 对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列。 例 其中 为数字域频率 为采样周期 数字域频率是模拟域频率对采样频率取归一化值， 即： * 第四章 离散时间系统的时域分析 与连续时间系统相比，离散系统的主要优点有： 1、精度高 离散系统的精度高，更确切说是精度可控制。因为精度 2、灵活 数字处理系统的性能主要由乘法器的各系数决定。只要 据实际情况适当改变字长，可以获得所要求的精度。 取决于系统的字长（位数）。字长越长，精度越高。根 应系统尤为合适。 改变乘法器的系数， 系统的性能就改变了，对一些自适 3、稳定性及可靠性好 离散系统的基本运算是加、乘法，采用的是二进制（非 4、数字希统集成化成度高，体积小、功耗低、功能强、 由于以上优点，离散系统得以广泛应用。 且数据可以存储。 1即0），所以工作稳定，受环境影响小，抗干扰能力强， 价格越来越便宜。 §4.1时域取样与插值 离散信号是在不连续的时间点上有确定值的信号。这些 时间信号的取样。 存在的信号，如医院人口出生统计等，也可以是对连续 我们所讨论的时间间隔是均匀的。离散信号可以是实际 不连续的时间间隔可以是均匀的，也可以是不均匀的， 时域取样是用数字技术处理连续信号的重要环节。取样 值，如图4-1所示。 就是利用 “取样器”，从连续信号中“抽取”信号的离散样 0 0 取样器 图4-1 信号的取样 这种离散的样值函数通常称为 “取样”信号。“取样”也称 散信号与数字信号通用。 散化，样值量化的信号。不过，不特别指明，我们将离 须经量化编码转变为数字信号。所以数字信号是时间离 样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还 “采样”“抽样”。取样信号是离散信号，一般用表示。取 是信号恢复的重要条件，也是取样定理解决的问题。 在这节中首先讨论对连续信号的取样以及取样信号的频 谱，然后讨论在什么条件下，取样信号能保留原连续信 号的全部信息，以及如何从取样信号中恢复原信号。从 若干样本值恢复信号，与做实验曲线有些相似。实验中 一般只能测出若干点上的实验值,将这些实验值用光滑曲 线连起来就是实验曲线,但取多少点合适?点少了会把一 些重要变化漏掉,点多了使实验工作量太大，只有合适的 点数才能保证实验结果正确。与此相似，适当的取样率 1、时域取样 最简单的取样器如图4-2a所示，是一个电子开关。开关 时信号通过。这样取样信号 可以表示为 出为零，等效为开关断开，信号通不过去，当 图中的 是周期性开关函数。当 为零时，乘法器输 开关的作用，可以用一个如图4-2b所示的乘法器等效， 接通，信号通过，开关断开，信号被短路。而这个电子 。 是周期为 式中 的周期函数，相应的取样频率 ， b 取样信号的频谱函数 周期开关函数 经过取样，连续信号 变成为离散信号，下面讨论 的傅氏级数为 a ，以及它与原信号频谱 的关系。 周期开关函数 的傅氏级数为 对上式取傅氏变换，得到周期开关 F 函数的频谱 F F 因为 将 的频谱 代入上式， 得到 上式表明，时域取样信号频谱，是原信号频谱以抽样 角频率为间隔的周期重复，其中 为加权系数。 当开关函数 是周期冲激序列时也称理想抽样， 此时 这样采样信号的频谱为 此式表示，理想取样的频谱 理想取样信号与频谱如图4-3所示。 ，加权系数是常数 加权周期重复，其中周期为 是原信号频谱 的 。 认为是理想取样。 如果我们从调制的角度分析上式，可以认为式中的 是一次谐波调制频谱， 是二次谐波调制频谱，以此类推。这样，理想取样的频 是基带频谱，而 是由基带频谱与各次谐波调制频谱组成的。 谱 要说明的是周期冲激取样，是周期矩形取样 的极 限情况。因为取样后信号频谱是原频谱的周期重复且幅 度一样，所以也称理想抽样。实际的取样信号都有一定 的脉冲宽度，当 相对取样周期 足够小时，可以近似 0 … 0 … 0 … … … 0 … 0 0 … 由以上对理想取样信号频谱 的分析，知道 是原信号频谱 的周期重复，重复周期的间隔为 。由图4-4可见 不同对 的影响。当 时，基带频谱与各次谐波频谱彼此是不重叠的， 是 无混迭的周期延拓，基带频谱保留了原信号 的全部信息；可用一个理想低通（虚线框）提取出基 带频谱，从而恢复 ；而当 时， 带频谱与谐波频谱有混叠，无法提取出基带频谱，也 的基 就不可能恢复原信号 。 通过以上的图解过程可以说明取样定理：一个频谱受限 信号 的最高频率为 ，则 可以用不大于 的时间间隔进行取样的取样值唯一地确定。 取样定理表明在什么条件下，取样信号能够保留原信号 的全部信息。这就是 或 反光镜，信号的最高频率一旦超过它，就会反射回来， 通常把允许的最低取样频率 定义为奈奎斯特 频率；允许最大的取样间隔 定义为奈奎 斯特间隔。 采样频率的一半 也称为折叠频率，因为它像一面 造成频谱的混叠。 例 4-1确定信号 利用对称性可得 的奈奎斯特频率 解 的最高频率 这是最高角频率为 的矩形频谱，信号 ， 所以的奈奎斯特频率 。 取样定理解决了在什么条件下，抽样信号能够保留原信 的插值。 低通滤波器提取原信号的频谱，从数学的角度就是函数 复原来的连续信号？从工程实现的角度，可以利用理想 号全部信息的问题。现在的问题是如何从抽样信号中恢 2、原信号的恢复 信号的恢复如图4-5所示。 式中 由无混叠的 中提取原信号 的频谱 ，可以 用一矩形频谱函数（理想低通）与 相乘。 中恢复原信号，其中低通的截止频率应满足： 是理想低通滤波器，可以从满足抽样定理的 0 0 0 0 0 在理想采样情况下 恢复信号可由卷积定理推得 的反变换为 F 代入 由 ，得到 是抽样函数，也称内插函数。 式中 ，代入上式，则 若: 而采样点之间的由各加权内插函数延伸叠加形成。 上式说明： 可由无穷多个加权系数为 的抽样 （内插）函数之和恢复。在采样点 上，只有峰值为 的抽样函数不为零，使得采样点上 2T 3T T 0 T 0 0 2T T 3T 信号的恢复如4-6图所示。 1 器。 由第二章理想滤波器的分析可知，理想低通是物理不可 实现的非因果系统。 而一般实际非理想低通的幅频特性 进入截止区后又不够陡直，如图4-7所示。所以除了原信 号的频谱分量外, 实际采样信号经过低通滤波器后，还会 有相邻部分的频率分量,使重建信号与原信号有差别。解 决的方法是提高抽样频率，或用更高阶(性能好)的滤波 0 原信号的恢复是可能的。 另外，实际信号的频谱也不会是严格的带限信号,只是随 着频率升高，振幅 很快衰减而已。这就是说，一般 抽样后的频谱总会有重迭部分,即使利用理想低通也不可 能完全恢复原信号。通常认为信号有一定的有效带宽, 或 在实际工作中采用预滤波，这样使某个有效的频率以外 的分量可以忽略不计,这在工程上是允许的。因此只要 足够高,滤波器特性又足够好，保证在一定精度条件下， §4.2离散序列与基本运算 1、离散时间信号——序列的描述 值的先后顺序即可，所以可以用序列来表示离散的时 散信号或由系统内部产生，在处理过程中只要知道样 离散信号可以从模拟信号采样得到，样值用 表示 （表示在离散时间点 上的样值）。也可以本身是离 间信号，它们的一般项为 。 表示序列，称为序列 为简便起，常用一般项 。 例4-2 式中小箭头表示n=0时所对应的样值，或标明 * *
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